Математики решили головоломку ленты Мёбиуса после 50 лет исследований

Уже почти полвека математики бьются над простым, на первый взгляд, вопросом: Какого наименьшего размера может быть лента Мёбиуса, не пересекающаяся с другими?

Однако Ричард Шварц, математик из Университета Брауна, предложил элегантное решение этой головоломки, изначально представленной математиками Чарльзом Уивером и Бенджамином Халперном еще в 1977 году.

В своей основополагающей работе Уивер и Халперн установили ограничение на размер лент Мёбиуса, проведя аналогию с привычной геометрией сложенных листов плотной бумаги. Они утверждали, что отношение длины и ширины полосы должно превышать квадратный корень из 3, т. е. примерно 1,73. Другими словами, для ленты Мёбиуса длиной в один сантиметр ее ширина должна быть больше √3, или 1,73 см.

Увлечение Шварца проблемой лент Мёбиуса началось около четырех лет назад во время разговора с коллегой. За прошедшее время он предпринял несколько попыток решить эту проблему и даже опубликовал в 2021 году работу, которая подавала большие надежды, но в итоге так и не нашла полного решения.

Однако Шварц не мог оставить эту задачу и недавно начал экспериментировать с лентами Мёбиуса из смятой бумаги в надежде найти более проработанный математический подход. Именно во время этого эксперимента, в частности, при разрезании одной из петель под углом (необходимый шаг для решения оптимизационной задачи), он наткнулся на нечто неожиданное.

Вместо двумерной формы, напоминающей параллелограмм, о чем он первоначально сообщил в своей первой работе, она оказалась трапецией — геометрической фигурой с четырьмя прямыми сторонами, из которых только две параллельны друг другу.

Он выразил свое удивление и восторг от осознания того, что, правильно решив задачу оптимизации, он пришел к точному значению √3.

Ленты Мёбиуса восхищают математиков и энтузиастов с момента их описания немецкими математиками Августом Мёбиусом и Иоганном Листингом в 1858 году.

Одним из наиболее интригующих свойств лент Мёбиуса является их неориентируемость, то есть муравей, проходящий по полосе Мёбиуса, никогда не оказывается окончательно ни внутри, ни снаружи, ни сверху, ни снизу фигуры. Во время своего путешествия муравьи покрывают обе стороны ленты одним непрерывным движением.

Это уникальное свойство использовать обе стороны поверхности без необходимости переворачивания сделало ленты Мёбиуса ценными в различных областях применения, включая магнитофоны, пишущие машинки, конвейерные ленты, печатные картриджи и американские горки.