Студент колледжа решил заведомо невыполнимую математическую задачу

В 1993 году Пол Эрдёш, знаменитый венгерский математик, известный своим выдающимся вкладом в математику в 20 веке, представил на первый взгляд противоречивый вопрос:

Фото: Фото: kurchat.mskobr.ru

Может ли множество Сидона служить "асимптотическим базисом порядка три"?

Позвольте нам рассказать об этом подробнее

Последовательность Сидона, названная в честь венгерского математика Симона Сидона, по сути, является набором чисел, в котором никакие два числа не складываются в одно и то же целое число. Например, в простом множестве Сидона, таком как (1, 3, 5, 11), сумма любых двух чисел в этом множестве дает уникальное значение. Создать последовательность Сидона, состоящую всего из четырех чисел, относительно просто, но по мере увеличения набора задача становится все более сложной. Как только две суммы становятся одинаковыми, набор чисел больше не может считаться набором Сидона.

Второй аспект проблемы Эрдёша, "асимптотический базис порядка три", подразумевает два условия:

• Множество должно быть бесконечно большим.
• Любое достаточно большое целое число может быть выражено как сумма не более трех чисел из этого множества.

Таким образом, загадка трех десятилетий вращается вокруг сосуществования этих двух элементов в одном и том же наборе чисел. В течение многих лет ответ на этот вопрос казался отрицательным.

Однако в марте этого года Седрик Пилатт, аспирант Оксфордского университета, опубликовал доказательство, подтверждающее существование такого сидонова множества. Достичь этой цели было нелегко. В 2010 году математики продемонстрировали, что множество Сидона может быть асимптотическим базисом порядка 5, а три года спустя они установили, что множество Сидона также может служить асимптотическим базисом порядка 4. Однако понятие "порядок 3" остается неуловимым, некоторые считают его теоретически возможным, но невероятно сложным, а возможно, даже невозможным для доказательства.

"Это противоречивые принципы", — заметил Пилатт в интервью журналу Quanta. "Сидоновы множества по своей природе малы, в то время как асимптотический базис должен быть большим. Было неочевидно, что они могут сосуществовать".

Как же Пилатту удалось примирить этот математически квадратный колышек с тем, что казалось круглым отверстием? Он применил нетрадиционный подход, обратившись к геометрии вместо вероятностного метода, который отстаивали Эрдёс и аддитивная теория чисел. Пилатт заменил числа полиномами и использовал результаты недавних исследований, проведенных математиками Колумбийского университета. Объединив эти идеи, Пилатт успешно построил множество Сидона, которое было одновременно плотным и достаточно случайным, чтобы окончательно решить первоначальную проблему Эрдёса.

В своей работе Пилатт опирался на открытия, сделанные многочисленными математиками из различных дисциплин, и объединил, казалось бы, не связанные между собой отрасли математики для решения поставленного вопроса.

"Увлекательно наблюдать, как эти глубокие методы, полученные из алгебраической геометрии, могут быть применены и к такому простому и осязаемому вопросу, касающемуся множества чисел", — поделился Пилатте с журналом Quanta.

Таким образом, еще одна математическая задача, которая когда-то считалась "невозможной", была доказана как неоспоримо возможная.