Учёный пересматривает 200-летнюю теорию: как решаются полиномы пятой степени

Для многих школьников алгебра всегда была чем-то неразборчивым — запутанным сочетанием чисел и букв.

Но за этим "шифром" скрывается древняя и фундаментальная область математики, где центральное место занимают уравнения, называемые полиномами. Решения квадратных уравнений (второй степени) были известны ещё в Вавилоне почти 4000 лет назад. Тогда применялась техника, которая впоследствии получила название "метод дополнения квадрата" и легла в основу знакомой формулы корней квадратного уравнения.

Эта формула открыла путь к решению уравнений третьей и четвёртой степени в XVI веке. Она используется до сих пор — в астрономии, программировании и других науках, например, для описания движения планет. Но долгое время оставался открытым вопрос: почему ту же технику невозможно применить для полиномов пятой степени и выше?

В 1832 году французский математик Эварист Галуа доказал, что полиномы пятой степени в общем виде не поддаются решению через радикалы — то есть с использованием корней. И вот почти два столетия спустя австралийский математик Норман Уайлдбергер из Университета Нового Южного Уэльса предложил совершенно новый подход к этой проблеме.

В статье, опубликованной 8 апреля в журнале The American Mathematical Monthly, совместно с доктором Дином Рубайном Уайлдбергер утверждает, что ключом является отказ от радикалов и от самого понятия иррациональных чисел. По его мнению, они основаны на нестрогих и логически уязвимых концепциях.

Ученый предлагает использовать особые типы полиномов, называемые степенными рядами — бесконечные выражения, включающие степени переменной x. Дополнительно он использует новые числовые последовательности, отражающие сложные геометрические связи и относящиеся к области комбинаторики. Одним из известных примеров подобных чисел являются числа Каталана, которые применяются для деления многоугольников на треугольники и решения других задач разбиения.

Уайлдбергер и его команда успешно протестировали свою методику на известном кубическом уравнении XVII века, использовавшемся математиком Джоном Уоллисом. Результаты подтвердили работоспособность нового метода.

"Наша работа открывает главу истории математики, которая долгие годы считалась завершённой", — говорит ученый. Он подчёркивает, что предыдущие попытки решения полиномов пятой степени, хоть и давали практичные приближения, не относились к строгой алгебре.

Уточнения

Вавило́н (логографика: KÁ.DINGIR.RA^KI, аккад. Bābili или Babilim «врата бога»; др.-греч. Βαβυλών) — древний город в Южной Месопотамии, столица Вавилонского царства. Важный политический, экономический и культурный центр Древнего мира, один из крупнейших городов в истории человечества и «первый мегалополис»; известный символ христианской эсхатологии и современной культуры.